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第1章 绪论1

1.1 数值计算方法的研究对象和特点1

1.2 误差的基本概念2

1.2.1 误差的来源2

1.2.2 绝对误差和相对误差3

1.2.3 有效数字4

1.3 误差传播6

1.3.1 四则运算的误差传播6

1.3.2 函数计算的误差传播7

1.4 数值计算应注意的问题8

1.4.1 避免两个相近的数相减8

1.4.2 避免大数“吃掉”小数9

1.4.3 避免绝对值太小的数作除数9

1.4.4 简化计算过程，减少运算次数，提高效率9

1.4.5 选用数值稳定的算法10

第2章 解线性方程组的直接方法12

2.1 Gauss（高斯）消去法12

2.1.1 Gauss消元算法原理12

2.1.2 Gauss消去法的计算量13

2.1.3 Gauss消去法编程14

2.2 Gauss-Jordan（高斯-若当）消去法16

2.2.1 Gauss-Jordan消元算法原理16

2.2.2 Gauss-Jordan消去法编程18

2.3 Gauss主元素消去法21

2.3.1 Gauss主元素消元算法原理21

2.3.2 Gauss主元素消去法编程23

2.4 直接三角分解法25

2.4.1 直接三角分解算法原理25

2.4.2 直接三角分解法编程28

2.5 解三对角方程组的追赶法31

2.5.1 追赶法原理31

2.5.2 追赶法编程33

第3章 解线性方程组的迭代法36

3.1 Jacobi（雅可比）迭代法36

3.1.1 Jacobi迭代法36

3.1.2 Jacobi迭代法编程38

3.2 Gauss-Seidel（高斯-赛德尔）迭代法40

3.2.1 Gauss-Seidel迭代法40

3.2.2 Gauss-Seidel迭代法编程42

3.3 超松弛迭代法44

3.3.1 超松弛迭代法44

3.3.2 超松弛迭代法编程49

第4章 插值法51

4.1 Lagrange（拉格朗日）插值51

4.1.1 一次插值51

4.1.2 二次插值52

4.1.3 Lagrange插值多项式53

4.1.4 Lagrange插值余项54

4.1.5 Lagrange插值编程54

4.2 Newton（牛顿）插值56

4.2.1 均差及其性质56

4.2.2 差分及其运算性质58

4.2.3 等距节点的Newton插值公式60

4.2.4 Newton插值编程61

4.3 Hermite（埃尔米特）插值63

4.3.1 Hermite插值原理63

4.3.2 Hermite插值编程66

4.4 三次样条插值69

4.4.1 三次样条函数69

4.4.2 三转角方程70

4.4.3 三弯矩方程73

4.4.4 三次样条插值法计算步骤74

4.4.5 三次样条插值法编程76

第5章 函数逼近79

5.1 最佳一致逼近多项式80

5.1.1 最佳一致逼近多项式的存在性80

5.1.2 Chebyshev（切比雪夫）定理80

5.1.3 最佳一次逼近多项式81

5.1.4 最佳一致逼近多项式编程82

5.2 最佳平方逼近多项式84

5.2.1 内积空间84

5.2.2 函数的最佳平方逼近86

5.2.3 最佳平方逼近多项式编程88

5.3 函数按正交多项式展开89

5.3.1 Legendre（勒让德）正交多项式89

5.3.2 函数按Legendre多项式展开90

5.3.3 按正交多项式逼近函数编程92

5.4 曲线拟合的最小二乘法93

5.4.1 最小二乘法原理93

5.4.2 最小二乘法编程95

第6章 数值积分98

6.1 插值型求积公式的构造98

6.2 Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）求积公式99

6.2.1 公式推导99

6.2.2 误差分析101

6.2.3 Newton-Cotes公式编程103

6.3 复合求积公式104

6.3.1 公式推导104

6.3.2 误差分析105

6.3.3 复合求积公式编程107

6.4 Romberg（龙贝格）求积公式111

6.4.1 积分步长的自动选择111

6.4.2 Romberg积分算法112

6.4.3 Romberg求积公式编程115

6.5 Gauss求积公式117

6.5.1 Gauss点117

6.5.2 Gauss-Legendre公式118

6.5.3 Gauss公式的余项119

6.5.4 Gauss公式的稳定性119

6.5.5 Gauss-Legendre公式编程120

第7章 数值微分123

7.1 中点方法123

7.1.1 中点方法原理123

7.1.2 中点方法编程124

7.2 插值型求导公式125

7.2.1 插值型求导原理125

7.2.2 插值型求导编程128

第8章 矩阵的特征值与特征向量的计算131

8.1 幂法与反幂法132

8.1.1 幂法132

8.1.2 幂法编程133

8.1.3 原点平移法136

8.1.4 反幂法138

8.1.5 反幂法编程139

8.2 Jacobi方法141

8.2.1 Jacobi方法的理论基础142

8.2.2 旋转变换142

8.2.3 Jacobi方法143

8.2.4 Jacobi方法编程147

8.3 QR算法149

8.3.1 QR算法原理151

8.3.2 Schmit（施密特）正交化的QR分解方法151

8.3.3 基于Householder（豪斯霍尔德）变换的QR分解方法153

8.3.4 基于Givens（吉文斯）变换的QR分解方法158

8.3.5 QR算法编程161

第9章 非线性方程求根165

9.1 二分法165

9.1.1 二分法原理165

9.1.2 二分法编程167

9.2 迭代法169

9.2.1 迭代法原理169

9.2.2 迭代法编程170

9.2.3 迭代公式的加工171

9.2.4 Aitken（艾特肯）法172

9.3 Newton法173

9.3.1 Newton法计算公式173

9.3.2 Newton法编程175

9.4 弦截法176

9.4.1 弦截法原理176

9.4.2 弦截法编程177

9.5 抛物线法179

9.5.1 抛物线法原理179

9.5.2 抛物线法编程182

第10章 常微分方程初值问题的数值解法184

10.1 Euler（欧拉）公式184

10.1.1 Euler公式的推导184

10.1.2 Euler公式编程185

10.2 后退的Euler公式187

10.2.1 后退Euler公式的推导187

10.2.2 后退Euler公式编程188

10.3 梯形Euler公式190

10.3.1 梯形Euler公式的推导190

10.3.2 梯形Euler公式编程190

10.4 改进的Euler公式192

10.4.1 改进Euler公式的推导192

10.4.2 改进Euler公式编程193

10.5 Euler两步法195

10.5.1 Euler两步法公式的推导195

10.5.2 Euler两步法公式编程196

10.6 Runge-Kutta（龙格-库塔）方法199

10.6.1 二阶Runge-Kutta方法199

10.6.2 高阶Runge-Kutta方法200

10.6.3 四阶Runge-Kutta方法的编程203

10.7 高阶微分方程或一阶微分方程组求解205

第11章 常微分方程边值问题的数值解法208

11.1 试射法208

11.1.1 试射法原理208

11.1.2 试射法编程211

11.2 差分方法215

11.2.1 数值微分格式215

11.2.2 边值问题的差分算法217

11.2.3 差分方法编程220

第12章 偏微分方程的数值解法基础223

12.1 椭圆型微分方程225

12.1.1 Laplace（拉普拉斯）差分方程225

12.1.2 线性方程组的建立226

12.1.3 边界的导数227

12.1.4 求解Laplace差分方程的迭代法229

12.1.5 Laplace差分方程迭代法编程231

12.1.6 Poisson（泊松）方程和Helmholtz（亥姆霍兹）方程233

12.1.7 Helmholtz方程求解编程233

12.2 抛物型微分方程235

12.2.1 热传导方程235

12.2.2 差分方程的推导236

12.2.3 Crank-Nicholson（克兰克-尼克尔森）方法238

12.2.4 Crank-Nicholson方法编程241

12.3 双曲型微分方程243

12.3.1 波动方程243

12.3.2 微分方程的导出243

12.3.3 计算初值的确定244

12.3.4 D’Alembert（达朗贝尔）算法245

12.3.5 D’Alembert算法编程247

第13章 海洋工程典型问题的数值计算250

13.1 船体结构中杆系计算的位移法250

13.1.1 位移法的原理251

13.1.2 位移法计算步骤253

13.1.3 工程算例253

13.2 长期极值波高的Weibull（威布尔）统计分布261

13.2.1 Weibull分布261

13.2.2 非线性最小二乘法的原理261

13.2.3 对Weibull分布参数的拟合263

13.2.4 分布拟合的检验263

13.2.5 工程算例264

13.2.6 结语266

13.3 海浪谱矩的计算266

13.3.1 特征波高与谱矩的关系267

13.3.2 工程算例267

13.4 年极值水位的灰色马尔科夫预报模型268

13.4.1 改进的GM（1，1）求解方法269

13.4.2 马尔科夫预报模型270

13.4.3 灰色马尔科夫预报原理270

13.4.4 年极值水位的灰色马尔科夫预报273

13.4.5 结语274

13.5 港口工程项目比选的层次分析274

13.5.1 层次分析法的基本原理274

13.5.2 码头设计方案选优的层次分析277

13.5.3 结语280

13.6 串联多自由度系统结构动力特性求解281

13.6.1 系统动力特性的基本概念281

13.6.2 工程算例282

13.7 Stokes（斯托克斯）的5阶波浪理论286

13.7.1 Stokes波理论的5阶近似解的计算原理287

13.7.2 算法流程289

13.7.3 工程算例289

13.8 基于射线理论的波浪折射模型290

13.8.1 基本方程的导出291

13.8.2 数值求解微分方程组292

13.8.3 数值计算实例293

13.9 平直岸线上突堤建设后泥沙淤积计算294

13.9.1 岸线变形计算的一线模型294

13.9.2 岸线变形计算的数值方法299

习题302

参考文献309