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第1章 距离空间1

1.1 距离空间的基本概念1

1.1.1 距离空间的定义及例子1

1.1.2 距离空间中的收敛性7

1.1.3 距离空间上的映射9

1.2 距离空间的点集·稠密性与可分性10

1.2.1 几类特殊的点集10

1.2.2 稠密性与可分性13

1.3 距离空间的完备性15

1.3.1 Cauchy列与完备性15

1.3.2 闭球套定理与Baire纲定理20

1.3.3 距离空间的完备化21

1.4 距离空间的列紧性与紧性22

1.4.1 列紧集及紧集22

1.4.2 列紧集与全有界集23

1.4.3 紧集的性质28

1.4.4 紧集上的连续映射29

1.5 Banach不动点定理30

习题136

第2章 赋范线性空间39

2.1 赋范线性空间39

2.1.1 线性空间39

2.1.2 赋范线性空间的定义及基本性质43

2.1.3 赋范线性空间的例子45

2.2 Banach空间47

2.2.1 Banach空间的定义及例子47

2.2.2 Banach空间的性质49

2.2.3 积空间与商空间50

2.3 具有基的Banach空间52

2.3.1 具有基的Banach空间52

2.3.2 有限维赋范线性空间55

习题259

第3章 内积空间62

3.1 内积空间的基本概念与性质62

3.1.1 内积空间的基本概念62

3.1.2 内积空间的基本性质65

3.2 Hilbert空间中的正交分解定理70

3.2.1 正交70

3.2.2 变分引理72

3.2.3 正交分解定理73

3.3 正交系74

3.3.1 内积空间中的规范正交系74

3.3.2 Hilbert空间中的规范正交系77

3.3.3 Gram-Schmidt正交化79

3.4 Hilbert空间的同构80

习题383

第4章 Banach空间上的有界线性算子85

4.1 有界线性算子85

4.1.1 线性算子与线性泛函的定义85

4.1.2 线性算子的连续性与有界性86

4.1.3 有界线性算子空间89

4.2 开映射定理94

4.2.1 开映射定理94

4.2.2 闭图像定理97

4.3 共鸣定理99

4.4 Hahn-Banach延拓定理102

4.5 共轭空间与共轭算子105

4.5.1 共轭空间106

4.5.2 共轭算子109

4.6 弱收敛与弱＊收敛112

4.6.1 弱收敛112

4.6.2 弱＊收敛114

4.7 紧线性算子115

习题4118

第5章 Hilbert空间上的有界线性算子121

5.1 Hilbert空间的自共轭性121

5.2 Hilbert空间上的共轭算子122

5.2.1 共轭算子的概念与性质123

5.2.2 自共轭算子126

5.2.3 正规算子128

5.2.4 酉算子129

5.3 Hilbert空间上的投影算子132

5.4 正算子及其平方根136

习题5139

参考书目141