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第1章 第一次进攻——行列式1

1.1 基础知识点1——行列式长什么样2

1.2 基础知识点2——行列式的本质3

1.3 基础知识点3——行列式的基本计算方法4

1.3.1 特殊行列式的计算5

1.3.2 一般行列式的计算19

1.4 基础知识点4——行列式的五条性质29

1.4.1 性质130

1.4.2 性质231

1.4.3 性质332

1.4.4 性质434

1.4.5 性质535

1.5 基础知识点5——克拉默法则35

1.6 基础知识点6——矩阵38

1.7 基础知识点7——矩阵的运算39

1.7.1 矩阵与矩阵相加39

1.7.2 数字与矩阵相乘40

1.7.3 矩阵与矩阵相乘40

1.8 基础知识点8——矩阵的转置55

1.9 基础知识点9——方阵、对角矩阵、单位矩阵、逆矩阵56

1.9.1 方阵56

1.9.2 对角矩阵57

1.9.3 单位矩阵61

1.9.4 逆矩阵65

1.10 基础知识点10——向量的基本概念73

1.11 核心考点1——关于代数余子式的两句话74

1.12 核心考点2——克拉默法则的推论88

1.13 核心考点3——关于行列式的两种计算题94

1.13.1 抽象行列式的计算94

1.13.2 具体行列式的计算97

1.14 核心考点4——超级思维定势110

第2章 第二次进攻——矩阵112

2.1 基础知识点1——初等变换113

2.2 基础知识点2——初等矩阵115

2.3 基础知识点3——矩阵的秩119

2.3.1 矩阵的子式119

2.3.2 矩阵的秩的定义124

2.3.3 利用初等行变换来求矩阵的秩124

2.4 核心考点1——两组充分必要条件132

2.5 核心考点2——四条重要结论133

2.6 核心考点3——矩阵乘法的两条定律134

2.6.1 矩阵乘法满足结合律134

2.6.2 矩阵乘法对矩阵加减法满足分配律134

2.7 核心考点4——可交换的矩阵相乘特例134

2.8 核心考点5——关于矩阵转置的四个公式135

2.9 核心考点6——关于矩阵可逆的六个公式135

2.10 核心考点7——可逆矩阵、初等变换、初等矩阵、矩阵的秩之间的关系以及等阶矩阵140

2.10.1 可逆矩阵与初等矩阵的关系141

2.10.2 初等矩阵与初等变换的关系141

2.10.3 初等变换与矩阵的秩的关系143

2.10.4 初等矩阵的逆矩阵145

2.10.5 等价矩阵146

2.11 核心考点8——对称矩阵、反对称矩阵、求逆矩阵、矩阵的幂147

2.11.1 对称矩阵与反对称矩阵147

2.11.2 求逆矩阵149

2.11.3 特殊分块矩阵的逆矩阵153

2.11.4 求一个矩阵的若干次幂155

第3章 第三次进攻——向量161

3.1 基础知识点1——向量与向量组的基本概念162

3.2 基础知识点2——线性表出的概念163

3.3 基础知识点3——线性相关与线性无关的概念164

3.4 基础知识点4——最大无关组166

3.5 基础知识点5——“向量组的秩”的概念167

3.6 基础知识点6——“向量组的秩”与“矩阵的秩”的关系170

3.7 基础知识点7——线性表出的推广172

3.8 基础知识点8——等价向量组173

3.9 核心考点1——关于线性相／无关要记的几个结论174

3.10 核心考点2——方程组的求解176

3.10.1 求齐次方程组的通解178

3.10.2 求非齐次方程组的通解190

3.11 核心考点3——四个重要的定理198

3.12 核心考点4——线性表出的本质207

3.13 核心考点5——与秩有关的七个公式208

3.14 核心考点6——向量空间209

3.14.1 基，向量空间的维数，坐标210

3.14.2 基变换公式213

3.15 核心考点7——正交215

3.15.1 正交向量215

3.15.2 正交矩阵217

3.15.3 正交化221

3.16 核心考点8——线性相／无关的证明题224

第4章 第四次进攻——解线性方程组229

4.1 核心考点1——求解含参方程组230

4.2 核心考点2——求两个方程组的公共解244

4.3 核心考点3——同解方程组的证明247

4.4 核心考点4——已知齐次方程组的基础解系，反求齐次方程组251

4.5 核心考点5——线性方程组解的性质252

第5章 第五次进攻——特征值、特征向量、相似矩阵257

5.1 基础知识点1——特征值、特征向量的基本概念258

5.2 基础知识点2——特征值、特征向量的计算方法258

5.3 基础知识点3——对称矩阵、正交矩阵262

5.4 基础知识点4——特征值0的个数264

5.5 基础知识点5——相似矩阵265

5.6 基础知识点6——对角化266

5.7 基础知识点7——合同矩阵266

5.8 核心考点1——证明两个矩阵有相同的特征值267

5.9 核心考点2——与特征值有关的四个结论269

5.10 核心考点3——通过A的特征值、特征向量来推关于A的多项式的特征值、特征向量271

5.11 核心考点4——什么样的方阵可以对角化273

5.12 核心考点5——若方阵可以对角化，那么？以及P怎么求277

5.13 核心考点6——实对称矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量必正交285

5.14 核心考点7——实对称矩阵一定可以相似于对角矩阵287

5.15 核心考点8——实对称矩阵一定可以合同于对角矩阵295

第6章 第六次进攻——二次型300

6.1 基础知识点1——二次型的定义301

6.2 基础知识点2——二次型的对应矩阵302

6.3 基础知识点3——利用矩阵乘法来表示二次型303

6.4 基础知识点4——标准形304

6.5 基础知识点5——规范形305

6.6 基础知识点6——合同二次型306

6.7 基础知识点7——正定二次型、正定矩阵307

6.8 核心考点1——化二次型为标准形308

6.9 核心考点2——两个对称矩阵合同的充分必要条件318

6.10 核心考点3——正定二次型、正定矩阵的证明方法320

6.10.1 正定矩阵的证明方法320

6.10.2 正定二次型的证明方法324