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第一章 集合与函数概念1

选修2-1

必修1

必修2

1.1 集合2

元素与集合、集合与集合的关系2

选修2-2

集合的表示3

集合中元素的特征3

选修2-3

必修3

集合间的基本关系4

必修4

全集与补集概念的特性5

必修5

交集与并集概念的深化理解6

集合的运算性质7

集合概念的理解与应用8

交集与并集思想的应用9

子集及子集思想的应用9

分类讨论思想的应用10

数形结合思想的应用10

集合的实际应用11

区分？、{？}、0、{0}12

区分数集与点集12

要注意空集的特殊性和特殊作用13

1.2 函数及其表示15

由函数的定义可知，函数概念含有三个要素15

函数定义域的求法16

求函数解析式的几种常用方法17

如何画简单函数的图象18

如何正确认识分段函数的概念19

如何求函数的值域19

映射与函数概念的应用20

函数图象的应用21

映射判断21

函数解析式的实际应用21

求函数解析式方法的选择22

复合函数定义域的理解22

在理解单调性的定义时，应注意的几点24

1.3 函数的基本性质24

复合函数的单调性25

求函数单调区间的方法25

函数奇偶性的判断方法26

函数的奇偶性是函数的整体性质27

第二章 基本初等函数（Ⅰ）29

指数函数的图象和性质30

2.1 指数函数30

根式的性质31

分式化简的方法与技巧31

在指数函数y=ax中，a对图象的影响31

指数函数图象与指数函数性质之间的对应关系32

指数运算性质的应用32

指数型复合函数性质的应用33

应用指数函数的单调性比较大小33

2.2 对数函数35

对数函数的图象和性质35

对数的运算性质36

对数函数的图象特征36

指数函数与对数函数的对比37

对数运算性质的应用38

定义域的求解39

单调性的应用39

图象的应用41

2.3 幂函数44

幂函数的图象44

幂函数的图象与性质的应用45

幂函数的性质45

第三章 函数的应用47

3.1 函数与方程48

二次方程的根与二次函数图象间的关系48

零点的性质49

一元二次方程根的分布的应用50

研究方程不同实根的个数50

解函数应用问题的基本步骤53

如何建立函数模型53

3.2 函数模型及其应用53

一次函数模型的应用54

二次函数模型的应用55

指数函数模型的应用56

第一章 空间几何体58

棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台、棱台的结构特征60

1.1 空间几何体的结构60

球、简单组合体的结构特征61

棱柱、棱锥的特征62

球面与球的区别63

1.2 空间几何体的三视图与直观图65

几何体直观图的画法65

三视图的画法65

由几何体的直观图画三视图66

1.3 空间几何体的表面积与体积69

棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积69

圆柱、圆锥、圆台的表面积70

球的表面积和体积70

计算多面体的侧面积71

组合体的面积、体积71

第二章 点、直线、平面之间的位置关系74

公理276

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系76

公理176

公理4 平行公理77

公理377

空间两条直线的位置关系78

异面直线78

直线与平面的位置关系79

平面与平面的位置关系80

公理的应用81

2.2 直线、平面平行的判定及其性质84

直线和平面平行的判定定理84

两个平面平行的判定定理85

直线和平面平行的性质定理85

两个平面平行的性质85

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质88

垂直关系88

直线和平面垂直的判定定理89

直线和平面所成的角89

两个平面垂直的判定90

两个平面垂直的性质90

二面角的求法90

第三章 直线与方程93

对直线的倾斜角和斜率的理解94

3.1 直线的倾斜角与斜率94

两条直线平行与垂直的判定96

斜率公式的应用97

求直线方程所需的条件99

3.2 直线的方程99

直线方程的两点式及截距式100

直线方程的点斜式和斜截式100

直线方程的深化理解101

直线方程的一般形式101

直线方程形式的灵活选择及应用103

直线系的应用104

两条直线的交点107

3.3 直线的交点与距离公式107

关于两条直线相交的判定方法107

平面上两点间的距离公式108

两平行线间的距离109

点到直线的距离公式109

两条直线位置关系的判断方法109

对称问题110

第四章 圆与方程115

4.1 圆的方程117

点与圆的位置关系的判断117

几种特殊圆的方程117

圆与圆的位置关系的判断122

直线与圆的位置关系的判断122

4.2 直线、圆的位置关系122

圆的切线方程123

圆的几何性质的应用123

4.3 空间直角坐标系126

空间任意点与有序数组（x、y、z）之间的对应法则126

空间两点间的距离127

如何在空间坐标系中确定一个点的坐标128

第一章 算法初步130

1.1 算法与程序框图131

程序框图的三种基本结构131

算法的含义与要求131

算法的特点133

1.2 基本算法语句137

输入、输出语句的格式与作用137

利用条件语句编写程序139

利用循环语句编写程序140

1.3 算法案例143

最大公约数的求法143

辗转相除法的操作方法143

更相减损术的操作方法144

秦九韶算法的操作方法145

进制之间的转化方法146

第二章 统计148

2.1 随机抽样152

三种抽样方法的比较152

如何用样本的数字特征估计总体的数字特征155

2.2 用样本估计总体155

频率分布直方图的制作155

方差、标准差156

2.3 变量间的相关关系160

相关关系与函数关系的异同点160

散点图和回归直线的画法161

回归直线方程的应用162

第三章 概率164

正确理解“频率”与“概率”之间的关系165

3.1 事件与概率165

要辩证地看待“必然事件”“不可能事件”“随机事件”及其“概率”165

随机事件概率的计算方法166

概率的基本性质166

随机事件概率的应用166

频率和概率的关系167

对立事件概率的应用167

3.2 古典概型169

基本事件总数的确定方法169

古典概型概率的计算170

随机数的产生170

随机数的应用171

注意古典概型的特征171

3.3 几何概型173

几何概型与古典概型的联系与区别173

几何概型的计算方法174

与长度、角度有关的几何概率的求法174

与面积、体积有关的几何概率的求法175

几何概型的实际应用176

第一章 三角函数178

1.1 任意角和弧度制179

终边相同的角的表示179

弧度制下角的表示180

象限角与轴线角的表示180

扇形的弧长、面积公式的应用181

角度制与弧度制的互化181

数形结合思想的应用182

1.2 任意角的三角函数184

三角函数值在各象限的符号184

三角函数线185

三角函数的定义域186

同角三角函数的基本关系式187

诱导公式一187

三角公式的应用188

同角关系式要注意的几点189

公式及记忆190

1.3 三角函数的诱导公式190

公式二的推导及作用191

公式一的推导及作用191

公式三的推导及作用191

公式四的推导192

公式五的推导192

公式六的推导193

1.4 三角函数的图象与性质197

正弦曲线、余弦曲线的画法197

值域与最值的求法197

单调性的研究198

单调性的应用198

用“五点法”作函数y=Asin（ωx+？）的简图201

1.5 函数y=Asin（ωx+？）的图象201

图象变换202

由图象或部分图象确定解析式203

利用三角函数模型研究常见问题的方法206

1.6 三角函数模型的简单应用206

解三角函数应用问题的基本步骤207

第二章 平面向量210

实数与向量的区别和联系212

相等向量与共线向量212

2.1 平面向量的实际背景及基本概念212

2.2 平面向量的线性运算215

向量加法的三角形法则215

向量的减法216

向量加法的平行四边形法则216

向量数乘运算217

向量模不等式218

共线、共点问题的证明与判断218

平面向量的正交分解及坐标表示221

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示221

平面向量的坐标运算221

平面向量基本定理的应用222

2.4 平面向量的数量积224

平面向量数量积的几何意义224

平面向量数量积的性质225

平面向量数量积的坐标运算225

平面向量数量积的综合运用226

利用数量积求夹角226

用向量方法解决平面几何问题的基本方法228

2.5 平面向量的应用举例228

向量在物理学中的应用229

向量在几何学中的应用230

第三章 三角恒等变换232

公式Cα-β是推导其他公式的基础233

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式233

二倍角的正弦、余弦、正切公式235

公式的灵活应用236

辅助角的应用236

角的代换的应用236

常值代换的应用236

注意正切的和、差角公式237

倍角的理解237

确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则240

和差化积与积化和差公式的推导240

3.2 简单的三角恒等变换240

三角式的化简与三角恒等式的证明242

关于半角正切三个公式的理解243

第一章 解三角形244

利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题245

正弦定理的证明245

1.1 正弦定理和余弦定理245

三角形的有关公式248

运用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状248

正弦定理、余弦定理的综合应用249

解三角形应用题的基本思路250

1.2 应用举例250

解三角形应用题常见的几种情况和常用公式251

第二章 数列254

2.1 数列的概念及简单表示法255

数列的通项公式及分类255

用函数的观点理解数列255

数列与函数的关系256

由递推公式求通项公式257

由Sn求an257

归纳、猜想在通项公式求解中的应用257

注意an与{an}的区别258

等差数列与一次函数259

2.2 等差数列259

等差数列的简单性质260

等差数列的设项方法260

等差数列的实际应用261

等差数列前n项和公式与二次函数的区别与联系262

2.3 等差数列前n项和262

等差数列前n项和的有关性质263

等差数列的前n项和的最值263

等差数列前n项和公式、性质的应用264

函数思想在等差数列前n项和中的应用264

与等差数列前n项和有关的问题265

等比数列通项公式的深化理解267

2.4 等比数列267

判断或证明一个数列为等比数列的方法268

等比数列的性质268

等比数列通项公式的应用269

等比数列的性质的应用269

关于等比中项要注意270

等比数列前n项和公式的推导271

等比数列前n项和的性质271

2.5 等比数列前n项和271

错位相减法272

等比数列前n项和公式的应用272

第三章 不等式274

实数的运算性质与大小顺序间的关系275

不等式的分类和性质275

3.1 不等关系与不等式275

比较两数（式）大小的方法276

用反证法证明不等式277

不等式的性质与函数的综合应用277

简单不等式的证明277

3.2 一元二次不等式及其解法279

一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系279

解一元二次不等式的一般步骤280

分式不等式的解法280

含有参数的不等式解法280

一元二次方程根的分布281

3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题二元一次不等式表示平面区域283

区域划分的方法：284

如何求线性目标函数在约束条件下的最值284

判断二元一次不等式表示的平面区域的方法284

简单的线性规划问题的实际应用285

基本不等式的几何解释288

利用基本不等式可求最值288

3.4 基本不等式？≤？288

基本不等式的其他形式与拓展289

基本不等式的实际应用290

利用基本不等式比较实数大小或证明不等式290

利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件291

第一章 常用逻辑用语292

1.1 命题及其关系293

命题293

四种命题294

四种命题的相互关系295

如何判定命题的真假296

如何写出一个命题的其他三种命题296

反证法、逆否证法296

命题的实际应用297

1.2 充分条件与必要条件299

充分条件、必要条件、充要条件299

充要条件的判断301

用集合法判断充要条件301

如何证明（或求解）充要条件问题301

等价转化与非等价转化302

1.3 简单的逻辑联结词303

且、或303

非（否定）304

含有逻辑联结词的命题构成分析304

如何判定含有逻辑联结词命题真假305

逻辑联结词与集合运算的对应关系305

命题的否定与否命题306

1.4 全称量词与存在量词307

全称量词和存在量词307

含有一个量词的命题的否定308

含有量词命题真假的判断308

如何判断命题是否为全称或特称命题309

第二章 圆锥曲线与方程311

2.1 椭圆312

椭圆的定义312

椭圆的标准方程313

椭圆的标准方程的确定315

利用方程研究椭圆性质317

椭圆离心率求法318

椭圆的焦点三角形318

椭圆的焦半径公式318

椭圆中的最值问题319

椭圆的光学性质320

椭圆与平面向量321

2.2 双曲线322

双曲线的定义和标准方程322

双曲线的几何性质和第二定义323

双曲线标准方程与焦点位置325

共焦点的曲线系327

共渐近线的双曲线系327

双曲线的焦半径公式329

双曲线的焦点三角形330

2.3 抛物线334

抛物线的定义334

抛物线的标准方程335

抛物线标准方程的探求336

抛物线的焦点弦337

圆锥曲线337

2.4 直线与圆锥曲线的位置关系342

直线与圆锥曲线的位置关系342

直线与椭圆的位置关系343

直线与双曲线的位置关系345

直线与抛物线的位置关系347

点差法348

圆锥曲线的综合问题349

2.5 曲线与方程352

曲线的方程和方程的曲线352

求曲线方程的一般步骤353

定义法354

转代法355

参数法356

如何建立直角坐标系357

第三章 空间向量与立体几何360

3.1 空间向量及其运算361

空间向量及其加减运算361

空间向量的数乘运算361

空间向量的数量积运算362

空间向量的正交分解及其坐标表示363

空间向量运算的坐标表示364

空间向量的运算方法365

空间坐标系的建立和空间一点的坐标的确定方法366

3.2 立体几何中的向量方法368

空间点、直线、平面的位置的向量表示368

平面的法向量369

用向量方法判定空间中的平行关系370

用向量方法求两条异面直线所成的角372

利用空间向量求空间距离的方法374

如何建立空间直角坐标系375

第一章 导数及其应用377

如何理解气球的膨胀率378

1.1 变化率与导数378

瞬时速度379

平均速度问题379

导数的定义380

求过曲线上一定点的切线方程问题381

如何求函数在一点处的导数381

利用导数求曲线切线的斜率381

函数y=x的导函数382

1.2 导数的计算382

常数函数的导数382

函数y=x2的导数383

复合函数的求导法则384

导数运算法则384

求可导函数单调区间的一般步骤和方法387

1.3 导数在研究函数中的应用387

利用导数的符号判断函数的单调性387

函数的极值的定义388

函数的最大值与最小值390

函数的极值的判定390

函数极值的应用393

导数在生活中的应用393

求函数极值的方法393

函数极值点的两种情况393

优化问题394

1.4 生活中的优化问题举例394

生活中的优化问题常见类型395

曲边梯形的概念397

1.5 定积分的概念397

路程与时间、速度间的关系398

如何求曲边梯形的面积398

定积分的概念399

如何求汽车做变速运动的路程400

求曲边梯形的面积中分割与近似代替400

求曲边梯形的面积思想方法400

定积分的性质401

求物体做变速直线运动路程的思想方法402

微积分基本定理的应用403

牛顿—莱布尼兹公式403

1.6 微积分基本定理403

几种典型的平面图形面积的计算405

1.7 定积分的简单应用405

求变力做功的方法407

变力做功407

变速直线运动的路程407

如何求能达到要求高度的上抛物体的初速度408

第二章 推理与证明409

归纳推理410

合情推理410

2.1 合情推理与演绎推理410

演绎推理411

类比推理411

反证法415

分析法415

2.2 直接证明与间接证明415

综合法415

数学归纳法的原理和步骤418

2.3 数学归纳法418

证明恒等式问题的规律420

如何正确运用数学归纳法420

证明整除与几何问题421

证明不等式的技巧421

数学归纳法的其他形式422

归纳、猜想、证明422

证明数列有关问题422

第三章 数系的扩充与复数的引入424

虚数单位i的引入及其性质425

3.1 数系的扩充和复数的概念425

复数的概念426

复数是纯虚数的充要条件427

复数是实数的充要条件427

复数相等及复数为零的充要条件427

复数与轨迹问题428

复数的加法及向量运算429

3.2 复数代数形式的四则运算429

复数的减法及向量运算430

复数代数形式的乘法、除法431

巧用i,ω的性质433

共轭复数及其性质434

第一章 计数原理435

分类加法计数原理436

分步乘法计数原理436

1.1 基本计数原理436

一类允许元素重复选取的计数问题438

列举数数法440

模型法441

字典排序法441

涂色问题442

排列数、排列数公式444

解排列应用题的基本思想444

1.2 排列444

有限制条件的排列应用题445

集团、间隔排列问题445

某些元素顺序确定的排列问题446

圆排列447

1.3 组合450

组合450

组合数的两个性质453

有限制条件的组合应用题454

组合问题常见的类型455

几何组合应用问题456

排列组合的综合应用题457

分组问题与分配问题458

1.4 二项式定理461

二项式定理461

二项展开式的通项公式462

多项式的展开464

二项式定理的活用466

展开式系数和466

展开式系数最大问题468

杨辉三角469

第二章 概率471

离散型随机变量472

2.1 离散型随机变量及其分布列472

离散型随机变量的分布列474

两点分布与超几何分布475

离散型随机变量的分布列的求法476

利用分布列性质解题477

利用排列组合知识求概率478

条件概率480

2.2 条件概率与事件的独立性480

事件的独立性481

独立重复试验482

条件概率公式的推广484

几何分布486

相互独立事件概率的求法487

利用二项分布解题488

用递推方法求概率489

如何利用导数讨论函数的单调性492

离散型随机变量的数学期望与方差492

2.3 离散型随机变量的数学期望与方差492

随机变量函数的数学期望与方差494

期望、方差的求法495

常见分布的数学期望与方差495

正态分布501

2.4 正态分布501

密度函数504

假设检验504

标准正态分布505

第三章 统计案例510

回归直线方程511

3.1 回归分析511

线性相关系数513

误差分析515

如何求线性回归直线方程518

非线性回归分析521

建立回归分析模型523

3.2 独立性检验529

两分类变量之间关联性的定性分析529

独立性检验的基本方法534

独立性检验在实际问题中的应用537