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第1章 导论和背景知识1

1.1 一些历史1

1.1.1 Hamilton1

1.1.2 Jacobi2

1.1.3 Lie3

1.1.4 Cartan4

1.2 线性辛几何5

1.2.1 辛向量空间5

1.2.2 基本例子6

1.2.3 辛正交补6

1.2.4 几类特殊的子空间6

1.2.5 正则形式7

1.3 辛群8

1.3.1 辛群8

1.3.2 二维辛群：Sp(2)=SL(2,R)8

1.3.3 Gauss定理8

1.4 线性Hamilton理论10

1.4.1 Maxwell电动力学10

1.4.2 Fresnel光学10

1.4.3 几何光学11

1.4.4 线性光学11

1.4.5 Gaussian光学11

1.4.6 Gaussian光学中的射线追踪12

1.4.7 Gaussian光学转换成Sp(2)13

1.4.8 Snell定律13

1.4.9 折射的矩阵形式14

1.4.10 常折射率介质中的射线15

1.4.11 薄透镜15

1.4.12 薄透镜的焦平面15

1.4.13 共轭平面和薄透镜方程16

1.4.14 望远镜16

1.4.15 主平面17

1.5 Gaussian光学中的Hamilton方法17

1.5.1 Gaussian光学中的Hamilton方法17

1.5.2 Hamilton想法19

1.5.3 光程20

1.5.4 光程的一个重要公式20

1.5.5 光程公式的一个特殊情形20

1.5.6 光程公式的证明20

第2章 辛群23

2.1 基础知识回顾23

2.1.1 辛向量空间23

2.1.2 最简单的例子23

2.1.3 子空间的特殊情况24

2.1.4 辛子空间24

2.1.5 正则形式24

2.1.6 Lagrangian子空间的存在性25

2.1.7 相容Hermitian结构25

2.2 极分解的使用26

2.2.1 线性代数中一些事实的回顾26

2.2.2 非负自伴随矩阵的平方根26

2.2.3 极分解27

2.2.4 辛几何中极分解的使用27

2.2.5 群Sp（V）是连通的28

2.2.6 Sp（V）的维数28

2.2.7 Lagrangian子空间构成的空间的维数29

2.3 辛群的坐标描述29

2.4 辛矩阵的特征值30

2.5 Sp（V）的Lie代数31

2.6 Sp（V）中元素的极分解31

2.6.1 回到Sp（V）中元素的极分解的一个断言上33

2.7 sp（V）的Cartan分解34

2.8 Sp（V）的紧子群34

2.9 Sp（V）的Gaussian生成元34

2.9.1 线性光学34

第3章 线性辛范畴39

3.1 范畴理论39

3.1.1 范畴的定义39

3.1.2 函子40

3.1.3 反变函子40

3.1.4 态射41

3.1.5 对合函子41

3.1.6 对换函子41

3.2 集合和关系42

3.2.1 有限关系的范畴42

3.2.2 △X是恒等态射idX43

3.2.3 结合法则43

3.3 范畴化“点”43

3.3.1 FinRel中的“点”44

3.3.2 态射作用在“点”上44

3.3.3 回到FinRel范畴上44

3.3.4 FinRel上的转置46

3.4 线性辛范畴46

3.4.1 Γ2*Γ1空间47

3.4.2 纤维乘积或正合方格48

3.4.3 转置48

3.4.4 投射a：Γ2*Γ1→Γ2°Γ148

3.4.5 线性典范关系的核和像49

3.4.6 明Γ2°Γ1是Lagrangian50

3.4.7 结合法则50

3.5 LinSym范畴和辛群51

第4章 辛向量空间的Lagrangian子空间和进一步的Hamilton方法53

4.1 与有限个Lagrangian子空间横截的Lagrangian子空间53

4.1.1 Lagrangian-Grassmanian空间54

4.1.2 L（V,M）的参数化54

4.1.3 基描述55

4.2 L（V）上的Sp（V）作用55

4.2.1 Sp（V）可迁地作用在L（V）的横截对上55

4.2.2 Sp（V）不可迁地作用在L（V）的横截三元组上56

4.2.3 sgn（βL）的显式计算58

4.3 生成函数——Hamilton想法的一个简单例子60

4.3.1 和M＊横截的子空间61

第5章 微分运算的回顾、广义Weil恒等式、Moser技巧和Darboux型定理65

5.1 超代数65

5.2 微分形式66

5.2.1 微分形式66

5.2.2 次66

5.2.3 局部描述66

5.3 d算子67

5.3.1 d算子67

5.3.2 规则的记忆68

5.4 导子68

5.4.1 导子68

5.4.2 交换子69

5.4.3 导子和乘法69

5.5 拉回69

5.5.1 拉回69

5.5.2 局部坐标下的拉回70

5.5.3 链法则70

5.6 Lie导数70

5.6.1 无穷小生成元71

5.6.2 向量场作为微分算子71

5.6.3 Lie导数71

5.7 Weil公式72

5.7.1 内乘积72

5.7.2 一般的内乘积72

5.7.3 Weil公式73

5.7.4 微分形式作为向量场上的多重线性函数73

5.7.5 外微分的一个公式74

5.7.6 Jacobi恒等式76

5.8 广义Weil公式77

5.8.1 广义Weil公式77

5.8.2 函子性的使用78

5.9 链同伦80

5.9.1 链同伦80

5.9.2 Poincaeé引理81

5.10 Moser技巧81

5.10.1 问题81

5.10.2 体积形式82

5.10.3 经典Morse引理84

5.10.4 Darboux型定理85

5.10.5 紧流形86

5.10.6 紧子流形87

5.10.7 Darboux最初的定理89

第6章 辛流形和Hamiltonian力学91

6.1 辛流形的定义91

6.1.1 辛同胚91

6.1.2 辛向量场91

6.1.3 Hamiltonian向量场92

6.1.4 Hamiltonian向量场是辛的92

6.1.5 两个辛向量场的Lie括号是Hamiltonian92

6.2 Poisson括号92

6.3 Poisson代数94

6.3.1 Poisson代数94

6.3.2 Poisson流形94

6.4 基本的局部例子94

6.4.1 Hamilton方程95

6.4.2 线性Hamiltonian95

6.4.3 二次Hamiltonian95

6.5 余切丛97

6.5.1 典范—形式97

6.5.2 典范二形式98

6.5.3 使用局部坐标98

6.5.4 Galileo定律98

6.5.5 Newton定律：F=ma99

6.5.6 Lagrangian子流形99

6.5.7 余切丛的Lagrangian子流形99

6.5.8 余切丛的横向Lagrangian子流形99

6.5.9 Q的微分同胚推出T*Q的辛同胚100

6.5.10 恰当辛流形101

6.5.11 增加一个“磁场”103

第7章 余切丛上的Hamiltonian力学105

7.1 余切丛的回顾105

7.1.1 余切丛上典范一形式的回顾105

7.1.2 余切丛上典范二形式的回顾105

7.1.3 Hamiltonian向量场106

7.2 余切丛上的Hamiltonian力学：续106

7.2.1 能量守恒107

7.2.2 Noether定理107

7.2.3 动能和势能107

7.2.4 动能107

7.2.5 Legendre变换109

7.2.6 局部坐标下的Legendre变换109

7.2.7 动能110

7.3 Euler-Lagrange方程111

7.3.1 Hamilton方程的第一部分111

7.3.2 Hamilton方程的第二部分112

7.3.3 Euler-Lagrange方程112

7.3.4 力学相似性原理112

7.3.5 Kepler第三定律113

7.4 余切丛上的变分计算113

7.4.1 可变端点117

7.5 一些Riemannian几何117

7.5.1 指数映射118

7.5.2 Gauss引理119

7.5.3 测地线局部最小化弧长120

7.5.4 测地线局部最小化能量121

7.6 另一个变分问题——Hamilton原理121

7.6.1 Hamilton原理122

7.7 附录：作为Lagrangian子流形的Legendre变换123

第8章 约化127

8.1 Frobenius定理127

8.1.1 微分系统（也称为分布）127

8.1.2 微分系统的积分流形127

8.1.3 一形式的例子128

8.1.4 不可积一形式128

8.1.5 淹没128

8.1.6 叶状结构128

8.1.7 纤维化129

8.1.8 微分系统的向量场129

8.1.9 Frobenius定理129

8.2 闭形式的约化132

8.2.1 Frobenius定理的主要应用132

8.3 淹没的水平和基本形式133

8.3.1 回到闭形式的约化134

8.3.2 余迷向浸入的约化135

8.3.3 约化和Poisson括号136

第9章 辛群作用和力矩映射139

9.1 Lie群背景知识和记号139

9.1.1 Lie群背景知识139

9.1.2 左平移和右平移139

9.1.3 f-关联向量场139

9.1.4 左不变向量场生成右平移140

9.1.5 Lie代数140

9.1.6 共轭和伴随表示141

9.1.7 群上三种自然作用141

9.1.8 G-流形和等变映射141

9.1.9 Lie代数的作用141

9.1.10 群作用的生成向量场142

9.1.11 群作用决定其Lie代数的作用142

9.1.12 证明“万有性”143

9.1.13 回到伴随表示和余伴随表示143

9.2 辛作用144

9.2.1 辛作用144

9.2.2 弱Hamiltonian作用144

9.2.3 弱力矩映射144

9.3 Hamiltonian作用及其力矩映射145

9.3.1 Hamiltonian作用145

9.3.2 子群的诱导作用145

9.3.3 更详细的等变条件145

9.3.4 到Poisson括号的同态146

9.3.5 修改弱力矩映射使之成为等变的：G是紧的情形146

9.3.6 修改弱力矩映射使之成为等变的：M是紧的和连通的情形147

9.3.7 恰当辛流形的力矩映射147

9.3.8 线性动量148

9.3.9 全线性动量148

9.3.10 全线性动量守恒149

9.3.11 GL（V）作用在V上149

9.3.12 角动量149

9.3.13 辛表示150

第10章 力矩映射续和约化151

10.1 力矩映射的导数151

10.1.1 力矩映射的微分是赋值映射的转置152

10.1.2 赋值映射的像是力矩映射核的正交补152

10.1.3 可迁Hamiltonian空间覆盖余伴随轨道152

10.2 Kostant-Souriau形式152

10.2.1 Kostant-Souriau形式：1152

10.2.2 Kostant-Souriau形式：2（G-不变性）153

10.2.3 Kostant-Souriau形式：3（σ是闭的和l是其力矩映射）154

10.2.4 Kostant-Souriau定理154

10.3 力矩映射的导数：续154

10.3.1 力矩映射的导数的像154

10.3.2 力矩映射的导数的像的零化子空间在m∈M是稳定化子代数155

10.4 力矩映射下余伴随轨道的逆像和约化155

10.4.1 完全相交155

10.4.2 完全相交比横截相交更广泛156

10.4.3 在力矩映射下余伴随轨道的逆像是余迷向的156

10.4.4 Q的维数公式157

10.4.5 当Q的零叶状结构是纤维化时基流形的维数157

10.4.6 约化Hamiltonian158

10.4.7 Marsden-Weinstein约化空间158

10.4.8 重新诠释Marsden-Weinstein约化空间159

10.4.9 例子159

10.4.10 有效势能160

第11章 集体运动和半直积161

11.1 集体运动的抽象定义161

11.1.1 例子：刚体162

11.1.2 L和Q是某个力矩映射的分支162

11.2 解集体Hamiltonian的Hamilton方程163

11.2.1 回顾：Legendre变换163

11.2.2 M上向量场的两种构造方法163

11.2.3 四个简单步骤解集体Hamiotonian方程165

11.3 半直积167

11.3.1 群和向量空间的半直积167

11.3.2 乘法的矩阵记忆法167

11.3.3 G=H？V的Lie代数g168

11.3.4 伴随表示168

11.3.5 余伴随表示168

11.3.6 余伴随轨道的Wigner-Mackey分类169

11.3.7 几个例子170

11.4 集体和不变Hamiltonian178

11.4.1 集体和不变Hamiltonian是Poisson括号交换的178

11.4.2 H和f是互相中心化的吗179

11.4.3 不变函数的中心化179

11.4.4 “集体的”三种形态180

第12章 Marle常秩嵌入定理、力矩映射的正则形式和辛诱导181

12.1 紧群作用181

12.1.1 群的平均化181

12.1.2 不变Riemann度量181

12.1.3 Mostow定理182

12.1.4 轨道型183

12.1.5 忠实性或有效性184

12.1.6 轨道型的数目是局部有限的184

12.1.7 紧群辛表示的不动向量空间是辛的186

12.2 Marle常秩嵌入定理187

12.2.1 辛法丛187

12.2.2 Marle常秩嵌入定理188

12.3 正则形式和Duistermaat-Heckman定理189

12.3.1 向量值形式189

12.3.2 使用余迷向嵌入定理191

12.3.3 力矩映射零水平集附近的力矩映射的正则形式191

12.3.4 邻近的约化空间191

12.3.5 G是环面的情形191

12.4 T*G的重生性质和辛诱导192

12.4.1 T*G上G×G作用192

12.4.2 右作用的力矩映射192

12.4.3 左作用的力矩映射193

12.4.4 总结193

12.4.5 T*G的重生性质193

12.5 辛诱导194

12.5.1 作为向量丛的模型空间及其力矩映射196

12.5.2 迷向轨道附近力矩映射的正则形式196

第13章 环面作用的凸性定理197

13.1 局部凸性198

13.1.1 回顾环面情形下力矩映射的正则形式198

13.2 一些Bott-Morse理论200

13.2.1 临界点集和Hessian200

13.2.2 Morse函数和Morse-Bott函数200

13.2.3 梯度流200

13.2.4 稳定和不稳定流形201

13.2.5 指标201

13.2.6 当没有n？=1时最小值的唯一性201

13.2.7 水平集的连通性202

13.3 凸性定理的证明203

13.4 力矩多面体的精细结构204

第14章 Hamiltonian配边、局部化和线性化205

14.1 Liouville测度和Duistermaat-Heckman测度206

14.1.1 Liouville测度206

14.1.2 Duistermaat-Heckman测度206

14.1.3 例子：Archimedes定理206

14.1.4 力矩映射的存在性207

14.2 可能是退化的二形式的Poisson代数207

14.2.1 P（M,ω）空间207

14.2.2 P（M,ω）上的乘法和括号208

14.2.3 该构造的极端情形209

14.3 Duistermaat-Heckman积分209

14.4 配边的使用209

14.4.1 配边关联的第一象征209

14.4.2 等变上同调群210

14.5 恰当Hamiltonian配边212

14.5.1 恰当力矩映射212

14.5.2 η-极化Hamiltonian配边214

14.6 线性化定理215

14.6.1 圈作用情形215

14.6.2 带孤立不动点的圈作用215

14.6.3 没有不动点的情形216

14.6.4 一般的Hamiltonian线性化定理218

第15章 线性化定理的应用221

15.1 导引221

15.2 线性环面作用及其Duistermaat-Heckman测度223

15.2.1 线性环面作用的回顾223

15.2.2 环面的复表示223

15.2.3 环面的实表示224

15.2.4 环面的辛表示224

15.2.5 力矩映射的像224

15.2.6 多面体△α225

15.2.7 极化权225

15.2.8 归一化某些体积228

15.2.9 线性空间的Duistermaat-Heckman测度229

15.3 线性化定理的右边部分230

15.4 带孤立不动点的环面作用的Duistermaat-Heckman测度231

第16章 极小偶对233

16.1 主丛234

16.1.1 Weinstein的约化构造235

16.1.2 联络和联络形式235

16.1.3 联络形式236

16.1.4 关联丛237

16.2 联络形式和力矩映射的配对237

16.2.1 T*P上的联络和典范一形式239

16.2.2 证明等式（16.2.3）239

16.3 丛的拉回240

16.3.1 主丛拉回的概念240

16.3.2 与约化空间（(T*P)-×F）//G的关系241

16.4 曲率及其应用242

16.4.1 使用曲率242

16.4.2 P上共变外导数和曲率形式243

16.4.3 曲率作为B上取值在g（P）内的二形式243

16.4.4 关联丛上的曲率形式243

16.4.5 曲率和力矩映射的配对244

16.4.6 F（P）上的形式σθ244