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第五章 多元函数微分学及其应用1

第一节 n维Euclid空间Rn中点集的初步知识1

1.1 n维Euclid空间Rn1

1.2 Rn中点列的极限2

1.3 Rn中的开集与闭集4

1.4 Rn中的紧集与区域9

习题 5.110

第二节 多元函数的极限与连续性10

2.1 多元函数的概念11

2.2 多元函数的极限与连续性15

2.3 多元连续函数的性质19

习题 5.220

第三节 多元数量值函数的导数与微分22

3.1 方向导数与偏导数22

3.2 全微分30

3.3 梯度及其与方向导数的关系38

3.4 高阶偏导数和高阶全微分43

3.5 多元复合函数的偏导数和全微分46

3.6 由一个方程确定的隐函数的微分法54

习题 5.357

第四节 多元函数的Taylor公式与极值问题61

4.1 多元函数的Taylor公式61

4.2 无约束极值、最大值与最小值64

4.3 有约束极值，Lagrange乘数法75

习题 5.480

第五节 多元向量值函数的导数与微分81

5.1 一元向量值函数的导数与微分82

5.2 二元向量值函数的导数与微分86

5.3 微分运算法则90

5.4 由方程组所确定的隐函数的微分法94

习题 5.599

第六节 多元函数微分学在几何上的简单应用100

6.1 空间曲线的切线与法平面101

6.2 弧长106

6.3 曲面的切平面与法线110

习题 5.6119

第七节 空间曲线的曲率与挠率121

7.1 Frenet标架121

7.2 曲率125

7.3 挠率133

7.4 Frenet公式135

习题 5.7136

综合练习题137

第六章 多元函数积分学及其应用139

第一节 多元数量值函数积分的概念与性质139

1.1 物体质量的计算139

1.2 多元数量值函数积分的概念141

1.3 积分存在的条件和性质143

习题 6.1144

第二节 二重积分的计算145

2.1 二重积分的几何意义145

2.2 直角坐标系下二重积分的计算法146

2.3 极坐标系下二重积分的计算法153

2.4 曲线坐标下二重积分的计算法158

习题 6.2164

第三节 三重积分的计算168

3.1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分168

3.2 柱面与球面坐标下三重积分的计算法172

习题 6.3181

第四节 重积分的应用184

4.1 重积分的微元法184

4.2 应用举例188

习题 6.4192

第五节 含参变量的积分与反常重积分193

5.1 含参变量的积分193

5.2 含参变量的反常积分196

5.3 反常重积分200

习题 6.5204

第六节 第一型线积分与面积分205

6.1 第一型线积分205

6.2 第一型面积分209

习题 6.6214

第七节 第二型线积分与面积分217

7.1 场的概念217

7.2 第二型线积分219

7.3 第二型面积分226

习题 6.7234

第八节 各种积分的联系及其在场论中的应用237

8.1 Green公式238

8.2 平面线积分与路径无关的条件243

8.3 Stokes公式与旋度251

8.4 Gauss公式与散度258

8.5 几种重要的特殊向量场265

习题 6.8270

综合练习题275

第七章 常微分方程277

第一节 常微分方程的基本知识277

1.1 微分方程与微分方程组277

1.2 微分方程组及其解的几何解释282

习题 7.1284

第二节 线性微分方程组285

2.1 齐次线性微分方程组285

2.2 非齐次线性微分方程组291

习题 7.2295

第三节 常系数线性微分方程组296

3.1 常系数齐次线性微分方程组的求解297

3.2 常系数非齐次线性微分方程组的求解306

习题 7.3315

第四节 高阶线性微分方程316

4.1 高阶线性微分方程解的结构316

4.2 高阶常系数线性微分方程的求解319

4.3 高阶变系数线性微分方程的求解问题332

习题 7.4336

第五节 微分方程的定性分析方法初步338

5.1 自治系统与非自治系统339

5.2 稳定性的基本概念341

5.3 线性自治系统平衡位置稳定性的判别法343

5.4 非线性自治系统平衡位置稳定性的判别法346

5.5 应用举例355

习题 7.5363

综合练习题364

第八章 无限维分析入门365

第一节 从有限维空间到无限维空间365

1.1 多维空间概念的现实基础365

1.2 为什么要研究无限维空间367

1.3 数学中空间概念的含义370

第二节 赋范线性空间与压缩映射原理371

2.1 内积空间371

2.2 赋范线性空间374

2.3 赋范线性空间的收敛性与点集性质377

2.4 空间的完备性381

2.5 压缩映射原理及其应用384

习题 8.2387

第三节 Lebesgue积分与LP（［a，b］）空间389

3.1 从R积分到L积分390

3.2 点集的Lebesgue测度与可测函数391

3.3 Lebesgue积分396

3.4 Lp（［a，b］）空间402

习题 8.3404

第四节 Hilbert空间与最佳逼近问题405

4.1 正交投影与正交分解405

4.2 最佳逼近问题408

4.3 Hilbert空间的正交系与Fourier展开411

4.4 L2（［-π，-π］）空间的Fourier展开与最佳均方逼近415

习题 8.4418

习题答案与提示419

参考文献444