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第一篇 高等数学1

第一章 函数、极限、连续与求极限的方法1

内容概要与重难点提示1

考核知识要点讲解1

一、函数1

二、极限的概念与性质4

三、极限的存在与不存在问题5

四、无穷小及其阶6

五、函数的连续性及其判断8

六、求极限的方法10

常考题型及其解题方法与技巧16

题型训练及参考答案29

第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算31

内容概要与重难点提示31

考核知识要点讲解31

一、一元函数的导数与微分31

二、按定义求导及其适用的情形35

三、基本初等函数导数表与导数四则运算法则36

四、复合函数的微分法则37

五、由复合函数求导法则导出的微分法则37

六、分段函数求导法40

七、高阶导数及n阶导数的求法42

八、一元函数微分学的简单应用43

常考题型及其解题方法与技巧45

题型训练及参考答案56

第三章 一元函数积分概念、计算及应用58

内容概要与重难点提示58

考核知识要点讲解58

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理58

二、积分法则64

三、类函数的积分法71

四、广义积分75

五、积分学应用的基本方法——微元分析法76

六、一元函数积分学的几何应用77

七、一元函数积分学的物理应用83

常考题型及其解题方法与技巧85

题型训练及参考答案110

第四章 微分中值定理及其应用112

内容概要与重难点提示112

考核知识要点讲解112

一、连续函数的性质112

二、微分中值定理及其应用114

三、利用导数研究函数的变化115

四、一元函数的最大值与最小值问题120

五、微分中值定理的其他应用122

常考题型及其解题方法与技巧122

题型训练及参考答案146

第五章 一元函数的泰勒公式及其应用148

内容概要与重难点提示148

考核知识要点讲解148

一、带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式148

二、泰勒公式的求法149

三、一元函数泰勒公式的若干应用150

常考题型及其解题方法与技巧153

题型训练及参考答案157

第六章 微分方程159

内容概要与重难点提示159

考核知识要点讲解159

一、基本概念159

二、一阶微分方程160

三、可降阶的高阶方程162

四、线性微分方程解的性质与结构163

五、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程164

六、二阶常系数非齐次线性方程165

七、含变限积分的方程167

八、应用问题168

常考题型及其解题方法与技巧168

题型训练及参考答案179

第七章 向量代数和空间解析几何181

内容概要与重难点提示181

考核知识要点讲解181

一、空间直角坐标系181

二、向量的概念181

三、向量的运算182

四、平面方程、直线方程185

五、平面、直线之间相互关系187

六、常用二次曲面的方程及其图形188

七、空间曲线在坐标平面上的投影189

常考题型及其解题方法与技巧190

题型训练及参考答案197

第八章 多元函数微分学198

内容概要与重难点提示198

考核知识要点讲解198

一、多元函数的概念、极限与连续性198

二、多元函数的偏导数与全微分200

三、多元函数微分法则204

四、复合函数求导法的应用——隐函数微分法206

五、复合函数求导法则的其他应用208

六、多元函数极值充分判别法209

七、多元函数的最大值与最小值问题210

八、方向导数与梯度（只对数一）213

九、多元函数微分学的几何应用（只对数一）214

常考题型及其解题方法与技巧216

题型训练及参考答案226

第九章 二重积分229

内容概要与重难点提示229

考核知识要点讲解229

一、二重积分的概念与性质229

二、在直角坐标系中化二重积分为累次积分231

三、二重积分的变量替换232

四、如何应用计算公式计算或简化二重积分234

常考题型及其解题方法与技巧237

题型训练及参考答案244

第十章 多元函数积分的概念、计算及其应用246

内容概要与重难点提示246

考核知识要点讲解246

一、多元函数积分的概念与性质246

二、在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分249

三、重积分的变量替换255

四、如何应用多元函数积分的计算公式及简化计算257

五、多元函数积分学的几何应用263

六、多元函数积分学的物理应用265

常考题型及其解题方法与技巧268

题型训练及参考答案289

第十一章 多元函数积分学中的基本公式及其应用291

内容概要与重难点提示291

考核知识要点讲解291

一、多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式291

？的通量与散度，环流量与旋度293

三、格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算294

四、平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题298

常考题型及其解题方法与技巧303

题型训练及参考答案313

第十二章 无穷级数314

内容概要与重难点提示314

考核知识要点讲解314

一、常数项级数的概念与基本性质314

二、正项级数敛散性的判定315

三、交错级数的敛散性判别法317

四、绝对收敛与条件收敛317

五、函数项级数的收敛域与和函数318

六、幂级数的收敛域319

七、幂级数的运算与和函数的性质320

八、幂级数的求和与函数的幂级数展开321

九、傅里叶级数323

常考题型及其解题方法与技巧325

题型训练及参考答案342

第二篇 线性代数345

第一章 行列式345

内容概要与重难点提示345

考核知识要点讲解345

一、行列式的概念、展开公式及其性质345

二、有关行列式的几个重要公式349

常考题型及其解题方法与技巧350

题型训练及参考答案361

第二章 矩阵及其运算364

内容概要与重难点提示364

考核知识要点讲解364

一、矩阵的概念及几类特殊方阵364

二、矩阵的运算366

三、矩阵可逆的充分必要条件367

四、初等变换367

五、初等矩阵367

六、矩阵的等价368

七、矩阵方程368

常考题型及其解题方法与技巧369

题型训练及参考答案384

第三章 n维向量与向量空间387

内容概要与重难点提示387

考核知识要点讲解387

一、n维向量的概念与运算387

二、线性组合与线性表出388

三、线性相关与线性无关389

四、线性相关性与线性表出的关系390

五、向量组的秩与矩阵的秩的关系390

六、矩阵秩的重要公式391

七、向量空间、子空与基、维数、坐标392

八、基变换与坐标变换392

九、规范正交基与Schmidt正交化393

常考题型及其解题方法与技巧393

题型训练及参考答案412

第四章 线性方程组416

内容概要与重难点提示416

考核知识要点讲解416

一、线性方程组的各种表达形式416

二、基础解系的概念及其求法416

三、齐次方程组有非零解的判定417

四、非齐次线性方程组有解的判定417

五、非齐次线性方程组解的结构417

六、克莱姆（Cramer）法则418

常考题型及其解题方法与技巧418

题型训练及参考答案429

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量433

内容概要与重难点提示433

考核知识要点讲解433

一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法433

二、相似矩阵的概念与性质435

三、矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤435

常考题型及其解题方法与技巧437

题型训练及参考答案455

第六章 二次型458

内容概要与重难点提示458

考核知识要点讲解458

一、二次型的概念及其标准形458

二、合同矩阵及正定矩阵460

常考题型及其解题方法与技巧461

题型训练及参考答案472

第三篇 概率论与数理统计474

第一章 随机事件与概率474

内容概要与重难点提示474

考核知识要点讲解474

一、随机事件的关系与运算474

二、随机事件的概率476

三、条件概率与全概率公式478

四、事件的独立性与伯努利公式479

常考题型及其解题方法与技巧481

题型训练及参考答案490

第二章 随机变量的分布及其概率493

内容概要与重难点提示493

考核知识要点讲解493

一、随机变量与分布函数493

二、离散型随机变量与连续型随机变量494

三、几个常见分布495

四、随机变量函数的分布的求法499

常考题型及其解题方法与技巧499

题型训练及参考答案510

第三章 二维随机变量的概率分布513

内容概要与重难点提示513

考核知识要点讲解513

一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数513

二、二维离散型随机变量514

三、二维连续型随机变量515

四、两个常见的二维连续型随机变量的分布517

五、二维随机变量的独立性518

六、二维随机变量函数的分布的求法519

常考题型及其解题方法与技巧520

题型训练及参考答案533

第四章 随机变量的数字特征536

内容概要与重难点提示536

考核知识要点讲解536

一、一维随机变量的数字特征536

二、二维随机变量的数字特征537

常考题型及其解题方法与技巧539

题型训练及参考答案552

第五章 大数定律和中心极限定理554

内容概要与重难点提示554

考核知识要点讲解554

一、大数定律554

二、中心极限定理556

常考题型及其解题方法与技巧556

题型训练及参考答案563

第六章 数理统计的基本概念565

内容概要与重难点提示565

考核知识要点讲解565

一、总体、样本、样本的数字特征565

二、统计量及抽样分布566

常考题型及其解题方法与技巧569

题型训练及参考答案572

第七章 参数估计和假设检验574

内容概要与重难点提示574

考核知识要点讲解574

一、统计估计574

二、假设检验577

常考题型及其解题方法与技巧579

题型训练及参考答案587